Задача на метод наименьших квадратов

Скачать полную версию

Экспериментальные данные о значениях переменных х и у приведены в таблице v\:* {behavior:url(#default#VML);} o\:* {behavior:url(#default#VML);} w\:* {behavior:url(#default#VML);} .shape {behavior:url(#default#VML);}

Экспериментальные данные о значениях переменных х и у приведены в таблице

хi 1 1,5 2 2,5 3 3,5

yi 5 3   2 1   1 0

В результате их выравнивания получена функция у=5/х. Используя метод наименьших квадратов, аппроксимировать эти данные линейной зависимостью у=ах+в (найти параметры а и в). Выяснить, какая из двух линий лучше (в смысле метода наименьших квадратов) выравнивает экспериментальные данные. сделать чертеж.

 

Задача заключается в нахождении коэффициентов линейной зависимости, при которых функция двух переменных а и b принимает наименьшее значение. То есть, при данных а и b сумма квадратов отклонений экспериментальных данных от найденной прямой будет наименьшей. В этом вся суть метода наименьших квадратов.

Таким образом, решение примера сводится к нахождению экстремума функции двух переменных.

Вывод формул для нахождения коэффициентов.

Составляется и решается система из двух уравнений с двумя неизвестными. Находим частные производные функции по переменным а и b, приравниваем эти производные к нулю.

Решаем полученную систему уравнений любым методом (например методом подстановки или методом Крамера) и получаем формулы для нахождения коэффициентов по методу наименьших квадратов (МНК).

При данных а и b функция принимает наименьшее значение. Доказательство этого факта приведено ниже.

Вот и весь метод наименьших квадратов. Формула для нахождения параметра a содержит суммы , , , и параметр n — количество экспериментальных данных. Значения этих сумм рекомендуем вычислять отдельно. Коэффициент b находится после вычисления a.

Пришло время вспомнить про исходый пример.

Решение.

В нашем примере n=6. Заполняем таблицу для удобства вычисления сумм, которые входят в формулы искомых коэффициентов.

  i=1 i=2 i=3 i=4 i=5 i=6
1 1,5 2 2,5 3 3,5 13,5
5 3 2 1 1 0 12
5 4,5 4 2,5 3 0 19
1 2,25 4 6,25 9 12,25 34,75

Значения в четвертой строке таблицы получены умножением значений 2-ой строки на значения 3-ей строки для каждого номера i .

Значения в пятой строке таблицы получены возведением в квадрат значений 2-ой строки для каждого номера i .

Значения последнего столбца таблицы – это суммы значений по строкам.

Используем формулы метода наименьших квадратов для нахождения коэффициентов а и b. Подставляем в них соответствующие значения из последнего столбца таблицы:

Следовательно, y = -1,828x+6,113 — искомая аппроксимирующая прямая.

Осталось выяснить какая из линий y = -1,828x+6,113 или cлучше аппроксимирует исходные данные, то есть произвести оценку методом наименьших квадратов.

Оценка погрешности метода.

Для этого требуется вычислить суммы квадратов отклонений исходных данных от этих линий и , меньшее значение соответствует линии, которая лучше в смысле метода наименьших квадратов аппроксимирует исходные данные.

Так как , то прямая y = -1,828x+6,113 лучше приближает исходные данные.

Графическая иллюстрация метода наименьших квадратов.

На графиках все прекрасно видно. Зеленая линия – это найденная прямая y = -1,828x+6,113 , красная линия – это , точки – это исходные данные.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *