Задание Исследовать функцию и построить график.
.
Решение:
I. область определения функции: множество действительных чисел R.
область значения функции — множество действительных чисел R.
Найдем точки пересечения с осями координат:
А) х=0 => 
(0;-7) -точка пересечения с осью Оy
Б) у=0 => 
,
Решим кубическое уравнение вида x3+аx2+bx+c=0
Домножим, наше уравнение на 2, получим 
Коэффициенты:
a = 6;
b = 0;
c = -14;
|
Q |
= |
( a 2 — 3b ) |
= |
( (6) 2 — 3 × (0)) |
= 4 |
|
9 |
9 |
|
R |
= |
( 2a 3 — 9ab + 27c ) |
= |
( 2 × (6) 3 — 9 × (6) × (0) + 27 × (-14) ) |
= 1 |
|
54 |
54 |
т. к. R 2 < Q 3 => по методу Виета-Кардано, уравнение имеет три действительных корня
x 1 = -5.545
x 2 = 1.378
x 3 = -1.833
имеем три точки пересечения с осью Ох:
(-5,545; 0), (1,378; 0), (-1,833; 0)
Функция не обладает ни свойством четности, ни свойством нечетности.
Функция не является периодической.
II. найдем интервалы монотонности функции.
Производная 
Интервалы монотонности разделяются точками, в которых 
или не существует. Найдем эти точки:
,
=> x=0 и х=-4
Рассмотрим интервалы и проверим как на них ведет себя функция
|
|
(-∞; -4) |
-4 |
(-4;0) |
0 |
(0; +∞) |
|
Y’ |
+ |
0 |
— |
0 |
+ |
|
Y |
|
9 |
|
-7 |
|
На интервале (-∞; -4) и на (0; +∞) функция возрастает
На интервале (-4;0) функция убывает
III. найдем интервалы выпуклости и вогнутости кривой.
=0, если х=-2
y« (x) < 0 при х
(-∞; -2), значит функция выпукла на интервале (-∞; -2)
y« (x) > 0 при х(-2;+∞), значит функция вогнута на интервале (-2;+∞)
построим график функции:
==========================================
Исследовать функцию и построить график y=(1/2)x^3+3x^2-7
==========================================
