Экспериментальные данные о значениях переменных х и у приведены в таблице v\:* {behavior:url(#default#VML);} o\:* {behavior:url(#default#VML);} w\:* {behavior:url(#default#VML);} .shape {behavior:url(#default#VML);}
Экспериментальные данные о значениях переменных х и у приведены в таблице
хi 1 1,5 2 2,5 3 3,5
yi 5 3 2 1 1 0
В результате их выравнивания получена функция у=5/х. Используя метод наименьших квадратов, аппроксимировать эти данные линейной зависимостью у=ах+в (найти параметры а и в). Выяснить, какая из двух линий лучше (в смысле метода наименьших квадратов) выравнивает экспериментальные данные. сделать чертеж.
Задача заключается в нахождении коэффициентов линейной зависимости, при которых функция двух переменных а и b принимает наименьшее значение. То есть, при данных а и b сумма квадратов отклонений экспериментальных данных от найденной прямой будет наименьшей. В этом вся суть метода наименьших квадратов.
Таким образом, решение примера сводится к нахождению экстремума функции двух переменных.
Вывод формул для нахождения коэффициентов.
Составляется и решается система из двух уравнений с двумя неизвестными. Находим частные производные функции по переменным а и b, приравниваем эти производные к нулю.
Решаем полученную систему уравнений любым методом (например методом подстановки или методом Крамера) и получаем формулы для нахождения коэффициентов по методу наименьших квадратов (МНК).
При данных а и b функция принимает наименьшее значение. Доказательство этого факта приведено ниже.
Вот и весь метод наименьших квадратов. Формула для нахождения параметра a содержит суммы , , , и параметр n — количество экспериментальных данных. Значения этих сумм рекомендуем вычислять отдельно. Коэффициент b находится после вычисления a.
Пришло время вспомнить про исходый пример.
Решение.
В нашем примере n=6. Заполняем таблицу для удобства вычисления сумм, которые входят в формулы искомых коэффициентов.
| i=1 | i=2 | i=3 | i=4 | i=5 | i=6 | ||
| 1 | 1,5 | 2 | 2,5 | 3 | 3,5 | 13,5 | |
| 5 | 3 | 2 | 1 | 1 | 0 | 12 | |
| 5 | 4,5 | 4 | 2,5 | 3 | 0 | 19 | |
| 1 | 2,25 | 4 | 6,25 | 9 | 12,25 | 34,75 |
Значения в четвертой строке таблицы получены умножением значений 2-ой строки на значения 3-ей строки для каждого номера i .
Значения в пятой строке таблицы получены возведением в квадрат значений 2-ой строки для каждого номера i .
Значения последнего столбца таблицы – это суммы значений по строкам.
Используем формулы метода наименьших квадратов для нахождения коэффициентов а и b. Подставляем в них соответствующие значения из последнего столбца таблицы:
Следовательно, y = -1,828x+6,113 — искомая аппроксимирующая прямая.
Осталось выяснить какая из линий y = -1,828x+6,113 или cлучше аппроксимирует исходные данные, то есть произвести оценку методом наименьших квадратов.
Оценка погрешности метода.
Для этого требуется вычислить суммы квадратов отклонений исходных данных от этих линий и , меньшее значение соответствует линии, которая лучше в смысле метода наименьших квадратов аппроксимирует исходные данные.
Так как , то прямая y = -1,828x+6,113 лучше приближает исходные данные.
Графическая иллюстрация метода наименьших квадратов.
На графиках все прекрасно видно. Зеленая линия – это найденная прямая y = -1,828x+6,113 , красная линия – это , точки – это исходные данные.
