Найти предельные абсолютные и относительные погрешности чисел, если они имеют только верные цифры в узком и в широком смысле

Найти предельные абсолютные и относительные погрешности чисел, если они имеют только верные цифры
а) в узком смысле
445,94
б) в широком смысле
0,4796

Решение
Правила округления погрешностей: если в старшем из отбрасываемых разрядов стоит цифра меньше 5, то содержимое сохраняемых разрядов числа не изменяется. В противном случае в младший сохраняемый разряд добавляется единица с тем же знаком, что и у самого числа.
 а) h = 445,94.
Так как все цифры числа h верны в узком смысле, то абсолютная погрешность , а относительная погрешность:
 (округления произведены по первому правилу округления погрешностей).
 
б) k = 0,4796
Так как все цифры числа верны в широком смысле, то абсолютная погрешность , а относительная погрешность:
 (округления произведены по первому правилу округления погрешностей).
 

Округлить сомнительные цифры числа, оставив верные знаки в широком смысле

Округлить сомнительные цифры числа, оставив верные знаки:
б) в широком смысле
3,141592 ± 0,00987

Решение:
б) Значащую цифру называют верной (в широком смысле), если абсолютная погрешность числа не превосходит единицы разряда, соответствующего этой цифре.
Для определения верных цифр в числе необходимо оперировать значением абсолютной погрешности, поэтому по формуле связи погрешностей получаем:
 
Найдем верные знаки:
3 > 0
0,1 > 0,0
0,04 > 0,03
0,001 = 0,001
 
 
 ­ — эта цифра не является верной.
То есть, верные знаки: 3,14159.
Округлим число:
B1 = 3,14159, тогда возникает погрешность округления, которая приводит к увеличению значения абсолютной погрешности
 
Так как , то все цифры верны в широком смысле. Тогда число можно округлить: B = 3,14159.
Относительная погрешность приближенного числа:
 
Абсолютная погрешность приближенного числа:
 
 

Округлить сомнительные цифры числа, оставив верные знаки в узком смысле

Округлить сомнительные цифры числа, оставив верные знаки:
а) в узком смысле 
0,89569,

Определить предельные абсолютные и относительные погрешности результата.
Решение
а) Значащую цифру называют верной (в узком смысле), если абсолютная погрешность не превосходит половины единиц разряда, соответствующих этой цифре.
Проверим верные знаки:
0,8 >
0,09 >
0,005  >
0,0006 >
0,00009 <  – эта цифра не является верной.
То есть, верные знаки: 0,8956.
Округлим число до десятитысячных долей:
A1 = 0,8956, тогда возникает погрешность округления, которая приводит к увеличению значения абсолютной погрешности
 
Так как , то все цифры верны в узком смысле. Тогда число можно округлить: А = 0,8956 (в узком смысле).
Относительная погрешность приближенного числа:
 
Абсолютная погрешность приближенного числа:
 
 

интерполяционный полином лагранжа, ньютона, формула трапеций, формула Симпсона, формула левых прямоугольников, формула правых прямоугольнико

ЗАДАЧИ:


 

Дана табличная функция

x

0.1

0.4

0.7

y

5.7

8.9

9.3

          Построить для нее интерполяционный полином

а) Ньютона;

б) Лагранжа.

Решение:

а)

 

 

 

 

 

 

 

 

b)

 

 


Дан интеграл . Для вычисления этого интеграла записать формулу

а) левых прямоугольников,

б) правых прямоугольников,

в) трапеций,

г) Симпсона.

Решение:

Разобьем отрезок интегрирования на 10 частей с длиной .

 Составим таблицу значений подынтегральной функции в полученных точках:

i

x

0

1

0,95634

1

1,2

0,67227

2

1,4

0,21264

3

1,6

-0,37011

4

1,8

-0,99990

5

2

-1,58346

6

2,2

-2,01935

7

2,4

-2,21042

8

2,6

-2,07991

9

2,8

-1,58951

10

3

-0,75582

Формулы для вычисления интеграла и их результат:

а) Формула левых прямоугольников:

 

 

 

 

 

b) Формула правых прямоугольников:

 

 

 

 

 

с) Формула трапеций:

 

 

 

 

 

d) Формула Симпсона:

 

Метод простой итерации

Дана система линейных уравнений            

  .

 

     

Записать вычислительную схему метода простой итерации и проверить ее сходимость.

Решение:

 

Первое уравнение делим на 5; выражаем из получившегося х; второе делим на 10 и выражаем у, из третьего вычитаем новое второе и выражаем z:

 

 

 

Схема будет сходиться, так как норма матрицы системы меньше 1: сумма модулей коэффициентов при переменных в первом уравнении равна 0,6; во втором 0,5, в третьем 0,6667. Максимальное из них 0,6667, что меньше 1.

Выполним несколько итераций

 

 

 

 

 

Аналогично дальше, получим:

n

x

y

z

0

0,2

1,2

-1,33333

1

0,4933

1,2533

-1,4667

2

0,5360

1,1493

-1,6622

3

0,6350

1,1518

-1,6907

4

0,6459

1,1151

-1,7567

5

0,6797

1,1173

-1,7639

6

0,6821

1,1045

-1,7864

7

0,6937

1,1058

-1,7881

8

0,6941

1,1013

-1,7958

9

0,6980

1,1019

-1,7960

10

0,6980

1,1004

-1,7987

11

0,6994

1,1007

-1,7987

12

0,6993

1,1001

-1,7996

13

0,6998

1,1002

-1,7996

Из таблицы видно, что с точностью до 3 знаков решения равны.

Метод Ньютона и метод простой итерации

   Дано уравнение . Записать вычислительную схему

a)      метода Ньютона,
b)     метода простой итерации; 
условие сходимости
Решение:

а) Метод Ньютона:
Вычислительная формула:
.

Сходится всегда в окрестности корня. Для данного уравнения имеем:

Окончание процесса: когда будет достигнуто требуемое условие .
Проиллюстрируем поиск корня на отрезке . Корень на нем есть, так как 

Итак, в качестве корня на данном интервале можно взять х*=3,260395
 
b) Метод простой итерации:
Сначала надо уравнение привести к виду, удобному для итерации:
.
Вычислительная формула:
.
Сходится при условии . Для данного уравнения имеем (если корень надо искать вне интервала (-1;1)):

 

n

xn

f(xn)

f'(xn)

0

3

-4,96423

15,40245

1

3,322301

1,388511

22,79991

2

3,261401

0,022151

22,01392

3

3,260395

7,98E-06

21,99804

4

3,260395

1,04E-12

21,99803

Абсолютная и относительная погрешность. 2

 

Дана функция ,

 

 

Найти абсолютную и относительную погрешности вычисления значения z
 
Решение:

 

 

.

 

Абсолютная погрешность:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Относительная погрешность:

 

.

метод матричного исчисления

Метод матричного исчисления

Дана система линейных уравнений
   
x1-4x2-2x3=-3
3x1+x2+x3=5
-3x1-5x2-6x3=-7
 
Доказать ее совместимость и решить двумя способами:

 


Решение:

найдем решение задачи, методом матричного исчисления.

Чтобы записать ее виде матричного уравнения и решить это матричное уравнение, используем правила действия над матрицами.

Для этого введем обозначения:

,,

Далее, система записывается в виде следующего уравнения , откуда следует, что . Найдем обратную  матрицу для матрицы А. Посчитаем сначала алгебраические дополнения  для элементов матрицы А.

 

, ,,

,,

,,

Найдем определитель .

По формуле для отыскания обратной матрицы имеем

Найдем матрицу строку Х, которая и даст решение системы

 

х1=53/37; х2=56/37; х3=-30/37

Ответ прост!

Решение задачи методом Гаусса

 

————————————————————————————————-
Решение задач численные методы. Заказать подобную работу!

————————————————————————————————-
Калькулятор матричного исчисления онлайн

метод Гаусса

Дана система линейных уравнений

   

x1-4x2-2x3=-3
3x1+x2+x3=5
-3x1-5x2-6x3=-7
 
Доказать ее совместимость и решить двумя способами:

Решение:

1)сначала решим задачу методом  гаусса
Для этого:
-запишем расширенную матрицу системы.
-выполним над расширенной матрицей системы элементарные преобразования, которые приведут ее к треугольному виду.

сложим вторую строку с третьей строкой

умножим первую строку на 3 и сложим с третьей.
Получим матрицу эквивалентную записанной выше.

поделим вторую строку на (-4)

умножим вторую строку на 17 и сложим с третьей строкой

 
умножим третью строку на 4/37, получим

 

По виду последней матрицы делается вывод, что система имеет единственной решение. При этом

х3=-30/37

х2+(5/4)х3=1/2    х2=1/2-(5/4)*(-30/37)=56/37

х1-4* х2 2х3=-3    х1=-3+4 х2+2x3= -3+4*56/37+2*(-30/37)=53/37

Ответ прост! Единственным решением будем х1=53/372=56/373=-30/37

решение другим способом — средствами матричного исчисления

—————————————————————————————————

Решение задач численные методы. Заказать подобную работу!
—————————————————————————————————————————
Решить бесплатно методом Гаусса онлайн здесь
———————————————————-