Найти площадь фигуры ограниченной кривыми онлайн

Как найти площадь фигуры ограниченной линиями онлайн

Предлагаем Вашему вниманию онлайн калькулятор для нахождения площади фигуры ограниченной кривыми линиями. Калькулятор в автоматическом режиме составляет интеграл, находит границы интегрирования, а также рисует саму фигуру на координатной плоскости. Как частный случай, калькулятор находит площадь криволинейной трапеции.

1). Как найти площадь криволинейной трапеции онлайн.

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой y=f(x) [f(x)≥0], прямыми x=a, x=b и отрезком [a,b] оси Ox находим по формуле

Пример. Найти площадь криволинейной трапеции ограниченной кривой y=2x^2+1 и прямыми x=1,x=2.

Решение. Вставляем в калькулятор функции в виде y=2x^2+1,x=1,x=2, нажимаем «Ok», получаем ответ.

2). Как найти площадь фигуры ограниченной линиями онлайн
Площадь фигуры, ограниченной кривыми y=f1(x) и y=f2(x)  [f1(x) ≤  f2(x)] и прямыми x=a, x=b вычисляется по формуле  y=f1(x) и y=f2(x)  [f1(x) ≤  f2(x)] и прямыми x=a, x=b вычисляется по формуле

 

 

Пример. Найти площадь фигуры ограниченной линиями y=4x-x^2, y=4-x

Решение. Вставляем функции y=4x-x^2, y=4-x в калькулятор, нажимаем «Ok», получаем ответ.

Калькулятор для исследования функций

Исследовать функцию онлайн и построить ее график.

С помощью данных калькуляторов можно по шагам провести исследование функции онлайн, и построить график функции онлайн с асимптотами.

Для этого скопируйте исследуемую функцию в каждый калькулятор, как показано в примере, и получите ответ. Если что пишите в комментариях

1. Находим область определения функции.

2. Выясняем, не является ли функция:

а) четной, нечетной • Функции, не являющиеся ни четными, ни нечетными (neither even nor odd), называются функциями общего вида.

б) периодической

3. Находим точки пересечения графика функции с осями координат и интервалы знакопостоянства функции.

Для того, чтобы найти точки пересечения с осью Ох выбираем знак «=», для нахождения интервалов на которых функция положительна — зак «>», для интервалов на которых функция отрицательна — знак «<«.

4. Находим вертикальные, наклонные, горизонтальные асимптоты графика функции.

5. Находим точки экстремума

6. Найти точки перегиба графика функции и интервалы его выпуклости и вогнутости.

7. Построить график функции, используя все полученные результаты исследования.

Исследовать и построить график функции


Решение:
Исследуем функцию по плану:

  1. Область допустимых значений (ОДЗ): х (-∞;+ )
  2. Функция является нечетной, т.к.

  1. Функция не имеет вертикальных асимптот, т.к. определена во всех точках, и не имеет точек разрыва второго порядка.

Проверим наличие наклонных асимптот вида y=kx+b

∞  = >  функция не имеет наклонных асимптот.

  1. Определим промежутки монотонности и экстремумы функции из условия


 
 

Функция возрастает на  (; )
Функция убывает на ;+ )
х= точка минимума) = -2
х= точка максимума ) = 2
 

  1. Точку перегиба функции найдем из условия

y''=0

 

Функция вогнута на ( ∞ ; )
Функция выпукла на (;+ ∞)
х=0 точка перегиба функции у(0)=0
 

  1. Построим график функции, с помощью "ПОСТРОИТЬ ГРАФИК ФУНКЦИИ ОНЛАЙН"

 

найти общее решение разностного уравнения у к+1 + у к – 6 у к-1 = к

 

[ Скачать с сервера (20.5Kb) ] 07.11.2013, 17:33
(если отображены не все картинки, скачайте файл с сервера)

найти общее решение разностного уравнения

у к+1 + у к – 6 у к-1 = к

будем искать решение в виде укк

подставим в исходное уравнение, получим

λк+1+ λк — 6λк-1 = к

уравнение выполняется при всех к, в том числе и при к=0

λ+ λ0 — 6λ-1 = 0

λ+ 1 — 6λ-1 = 0 домножим на λ

λ2+ λ — 6 = 0

имеем два различных действительных корня

общее решение выпишется в виде

для решения краевой задачи применить метод редукции y’’+y=x (**), x є (0,π) y(0)+y’(0)=1,y(π)=0

 

[ Скачать с сервера (88.0Kb) ] 07.11.2013, 17:27
(чтобы увидеть не отображенные картинки, скачайте файл с сервера)

решение будем искать в виде ,  C – константа,

u(x) – ненулевое решение однородного уравнения ,

функция v(x) – решение неоднородного уравнения

 

найдем ненулевое решение однородного уравнения y’’+y=0

характеристическое уравнение

λ2+1  = 0

 

отсюда общее решение

u(x)=(C1cos(x)+C2sin(x) )e0x= C1cos(x)+ C2sin(x)

 

Вернемся снова к неоднородному уравнению.

Будем искать его решение в виде

 

используя метод вариации постоянных.
Функции C1(x) и C2(x) можно найти из следующей системы уравнений:

тогда

выразим производную из первого уравнения

подставляем во второе уравнение, находим производную

 

,

,

отсюда следует, что

интегрируя выражения для производных C1‘ (x) и C2‘ (x) , получаем

где С1 и С2 – постоянные интергрирования

 

теперь подставим найденные функции C1(x) и C2(x) в формулу для и запишем общее решение неоднородного уравнения:

у(х)= ()cosx+()sinx= =+=

=+=v(x)

 

решение будет виде у(х)=С*u(x)+v(x) (*)

у(х)=С* ( C1cos(x)+ C2sin(x)) + (x+C1cos(x)+C2sin(x))

 

подставим решение в первое из исходных условий y(0)+y’(0)=1:

C*[u(0)+u’(0)]+[v(0)+v’(0)]=1

 

Потребуем, чтобы это краевое условие выполнялось независимо от значения C. Обнулим коэффициент при C и приравняем к  1 второе слагаемое:

 

u(0)+u’(0)=0 , v(0)+v’(0)=1.

 

Для выполнения этих равенств достаточно положить

u(0)=1, u’(0)= -1,

v(0)=1, v’(0)=0,

 

подставим для u(0)=1, u’(0)= -1

u(x)=C1cos(x)+ C2sin(x)

u(0)=C1cos(0)+ C2sin(0)=1

=> C1= 1 ,

 

u’(x)=-C1sin(x)+ C2cos(x)

u’(0)=-C1sin(x)+ C2cos(x)=-1

-C1sin(0)+ C2cos(0)=-1

=> C2= -1

 

v(x)=x+C1cos(x)+C2sin(x)

v(0)=0+C1cos(0)+C2sin(0)=1

C1=1

 

v’(x)=1-C1sin(x)+C2cos(x)

v’(0)=1-C1sin(0)+C2cos(0)=0

1+C2=0

=> C2= -1

 

u(x)=cos(x)-sin(x)

v(x)=x+cos(x)-sin(x)

 

Тем самым сформулированы задачи Коши для функций u(x), v(x),

сумма которых (*) представляет решение уравнения (**),

удовлетворяющее краевому условию в точке x=0.

 

y(π)=0

подберем постоянную C так, чтобы функция y(x) удовлетворяла краевому условию в точке x= π:

 

C*[u(π)+0]+[v(π)+0]=0

C*u(π)+v(π)=0

C= — v(π) /  u(π) = -( π +cos(π)-1*sin(π)) / (cos(π)-1*sin(π)) =

=-( π -1) / (-1 -0) = π -1

 

общее решение:

у(х)=( π -1) * (cos(x)-sin(x))+(x+cos(x)-sin(x))

у(х)=π cos(x)- π sin(x)- cos(x)+sin(x)+x+cos(x)-sin(x)

у(х)=π cos(x)- π sin(x)+x

 

Исследовать функцию и построить график y=(1/2)x^3+3x^2-7

Задание  Исследовать функцию и построить график.

 .

Решение:

I. область определения функции: множество действительных чисел R.

область значения функции —   множество действительных чисел R.

 

Найдем точки пересечения с осями координат:

А) х=0 =>  

(0;-7) -точка пересечения с осью Оy

 

Б) у=0 => , 

Решим кубическое уравнение вида x3x2+bx+c=0

Домножим, наше уравнение на 2, получим

Коэффициенты:
a = 6;
b = 0;
c = -14;

Q

  =  

( a 2 — 3b )

  =  

( (6) 2 — 3 × (0))

  =  4

9

9

 

R

  =  

( 2a 3 — 9ab + 27c )

  =  

( 2 × (6) 3 — 9 × (6) × (0) + 27 × (-14) )

  =  1

54

54

т. к. R 2 < Q 3 => по методу Виета-Кардано, уравнение имеет три действительных корня

1 = -5.545
2 = 1.378
3 = -1.833

 

имеем три точки пересечения с осью Ох:

(-5,545; 0), (1,378; 0), (-1,833; 0)

 

Функция не обладает ни свойством четности, ни свойством нечетности.

Функция не является периодической.

 

II. найдем интервалы монотонности функции.

 

Производная

Интервалы монотонности разделяются точками, в которых или не существует. Найдем эти точки:

 

,

=> x=0 и х=-4

Рассмотрим интервалы и проверим как на них ведет себя функция

 

 

(-∞; -4)

-4

(-4;0)

0

(0; +∞)

Y’

+

0

0

+

Y

9

-7

 

На интервале (-∞; -4) и на (0; +∞) функция возрастает

На интервале (-4;0) функция убывает

 

III. найдем интервалы выпуклости и вогнутости кривой.

 

=0, если х=-2

 

y« (x) < 0 при х (-∞; -2), значит функция выпукла на интервале (-∞; -2)

y« (x) > 0 при х(-2;+∞), значит функция вогнута на интервале (-2;+∞)

 

построим график функции:

 

==========================================

Исследовать функцию и построить график y=(1/2)x^3+3x^2-7

==========================================

 

 

интеграл от смешанных функций

1 интеграл.

2 интеграл.

3 интеграл.

4 интеграл.

не нашли свой интеграл? пожалуйста не расстраивайтесь, вы всегда можете заказать решение по математике, математическому анализу с помощью формы заказа.