Метод простой итерации

Дана система линейных уравнений            

  .

 

     

Записать вычислительную схему метода простой итерации и проверить ее сходимость.

Решение:

 

Первое уравнение делим на 5; выражаем из получившегося х; второе делим на 10 и выражаем у, из третьего вычитаем новое второе и выражаем z:

 

 

 

Схема будет сходиться, так как норма матрицы системы меньше 1: сумма модулей коэффициентов при переменных в первом уравнении равна 0,6; во втором 0,5, в третьем 0,6667. Максимальное из них 0,6667, что меньше 1.

Выполним несколько итераций

 

 

 

 

 

Аналогично дальше, получим:

n

x

y

z

0

0,2

1,2

-1,33333

1

0,4933

1,2533

-1,4667

2

0,5360

1,1493

-1,6622

3

0,6350

1,1518

-1,6907

4

0,6459

1,1151

-1,7567

5

0,6797

1,1173

-1,7639

6

0,6821

1,1045

-1,7864

7

0,6937

1,1058

-1,7881

8

0,6941

1,1013

-1,7958

9

0,6980

1,1019

-1,7960

10

0,6980

1,1004

-1,7987

11

0,6994

1,1007

-1,7987

12

0,6993

1,1001

-1,7996

13

0,6998

1,1002

-1,7996

Из таблицы видно, что с точностью до 3 знаков решения равны.