Исследовать функцию и построить график y=(1/2)x^3+3x^2-7

Задание  Исследовать функцию и построить график.

 .

Решение:

I. область определения функции: множество действительных чисел R.

область значения функции —   множество действительных чисел R.

 

Найдем точки пересечения с осями координат:

А) х=0 =>  

(0;-7) -точка пересечения с осью Оy

 

Б) у=0 => , 

Решим кубическое уравнение вида x3x2+bx+c=0

Домножим, наше уравнение на 2, получим

Коэффициенты:
a = 6;
b = 0;
c = -14;

Q

  =  

( a 2 — 3b )

  =  

( (6) 2 — 3 × (0))

  =  4

9

9

 

R

  =  

( 2a 3 — 9ab + 27c )

  =  

( 2 × (6) 3 — 9 × (6) × (0) + 27 × (-14) )

  =  1

54

54

т. к. R 2 < Q 3 => по методу Виета-Кардано, уравнение имеет три действительных корня

1 = -5.545
2 = 1.378
3 = -1.833

 

имеем три точки пересечения с осью Ох:

(-5,545; 0), (1,378; 0), (-1,833; 0)

 

Функция не обладает ни свойством четности, ни свойством нечетности.

Функция не является периодической.

 

II. найдем интервалы монотонности функции.

 

Производная

Интервалы монотонности разделяются точками, в которых или не существует. Найдем эти точки:

 

,

=> x=0 и х=-4

Рассмотрим интервалы и проверим как на них ведет себя функция

 

 

(-∞; -4)

-4

(-4;0)

0

(0; +∞)

Y’

+

0

0

+

Y

9

-7

 

На интервале (-∞; -4) и на (0; +∞) функция возрастает

На интервале (-4;0) функция убывает

 

III. найдем интервалы выпуклости и вогнутости кривой.

 

=0, если х=-2

 

y« (x) < 0 при х (-∞; -2), значит функция выпукла на интервале (-∞; -2)

y« (x) > 0 при х(-2;+∞), значит функция вогнута на интервале (-2;+∞)

 

построим график функции:

 

==========================================

Исследовать функцию и построить график y=(1/2)x^3+3x^2-7

==========================================