для решения краевой задачи применить метод редукции y’’+y=x (**), x є (0,π) y(0)+y’(0)=1,y(π)=0

решение будем искать в виде ,  C – константа,

u(x) – ненулевое решение однородного уравнения ,

функция v(x) – решение неоднородного уравнения

найдем ненулевое решение однородного уравнения y’’+y=0

характеристическое уравнение

λ²+1  = 0

отсюда общее решение

u(x)=(C₁cos(x)+C₂sin(x) )e^0x= C₁cos(x)+ C₂sin(x)

Вернемся снова к неоднородному уравнению.

Будем искать его решение в виде

используя метод вариации постоянных.
Функции C₁(x) и C₂(x) можно найти из следующей системы уравнений:

тогда

выразим производную из первого уравнения

подставляем во второе уравнение, находим производную

,

,

отсюда следует, что

интегрируя выражения для производных C₁‘ (x) и C₂‘ (x) , получаем

где С1 и С2 – постоянные интергрирования

теперь подставим найденные функции C₁(x) и C₂(x) в формулу для и запишем общее решение неоднородного уравнения:

у(х)= ()cosx+()sinx= =+=

=+=v(x)

решение будет виде у(х)=С*u(x)+v(x) (*)

у(х)=С* ( C₁cos(x)+ C₂sin(x)) + (x+C₁cos(x)+C₂sin(x))

подставим решение в первое из исходных условий y(0)+y’(0)=1:

C*[u(0)+u’(0)]+[v(0)+v’(0)]=1

Потребуем, чтобы это краевое условие выполнялось независимо от значения C. Обнулим коэффициент при C и приравняем к  1 второе слагаемое:

u(0)+u’(0)=0 , v(0)+v’(0)=1.

Для выполнения этих равенств достаточно положить

u(0)=1, u’(0)= -1,

v(0)=1, v’(0)=0,

подставим для u(0)=1, u’(0)= -1

u(x)=C₁cos(x)+ C₂sin(x)

u(0)=C₁cos(0)+ C₂sin(0)=1

=> C₁= 1 ,

u’(x)=-C₁sin(x)+ C₂cos(x)

u’(0)=-C₁sin(x)+ C₂cos(x)=-1

-C₁sin(0)+ C₂cos(0)=-1

=> C₂= -1

v(x)=x+C₁cos(x)+C₂sin(x)

v(0)=0+C₁cos(0)+C₂sin(0)=1

C₁=1

v’(x)=1-C₁sin(x)+C₂cos(x)

v’(0)=1-C₁sin(0)+C₂cos(0)=0

1+C₂=0

=> C₂= -1

u(x)=cos(x)-sin(x)

v(x)=x+cos(x)-sin(x)

Тем самым сформулированы задачи Коши для функций u(x), v(x),

сумма которых (*) представляет решение уравнения (**),

удовлетворяющее краевому условию в точке x=0.

y(π)=0

подберем постоянную C так, чтобы функция y(x) удовлетворяла краевому условию в точке x= π:

C*[u(π)+0]+[v(π)+0]=0

C*u(π)+v(π)=0

C= — v(π) /  u(π) = -( π +cos(π)-1*sin(π)) / (cos(π)-1*sin(π)) =

=-( π -1) / (-1 -0) = π -1

общее решение:

у(х)=( π -1) * (cos(x)-sin(x))+(x+cos(x)-sin(x))

у(х)=π cos(x)- π sin(x)- cos(x)+sin(x)+x+cos(x)-sin(x)

у(х)=π cos(x)- π sin(x)+x