Дана система линейных уравнений
.
Записать вычислительную схему метода простой итерации и проверить ее сходимость.
Решение:
Первое уравнение делим на 5; выражаем из получившегося х; второе делим на 10 и выражаем у, из третьего вычитаем новое второе и выражаем z:
Схема будет сходиться, так как норма матрицы системы меньше 1: сумма модулей коэффициентов при переменных в первом уравнении равна 0,6; во втором 0,5, в третьем 0,6667. Максимальное из них 0,6667, что меньше 1.
Выполним несколько итераций
Аналогично дальше, получим:
n |
x |
y |
z |
0 |
0,2 |
1,2 |
-1,33333 |
1 |
0,4933 |
1,2533 |
-1,4667 |
2 |
0,5360 |
1,1493 |
-1,6622 |
3 |
0,6350 |
1,1518 |
-1,6907 |
4 |
0,6459 |
1,1151 |
-1,7567 |
5 |
0,6797 |
1,1173 |
-1,7639 |
6 |
0,6821 |
1,1045 |
-1,7864 |
7 |
0,6937 |
1,1058 |
-1,7881 |
8 |
0,6941 |
1,1013 |
-1,7958 |
9 |
0,6980 |
1,1019 |
-1,7960 |
10 |
0,6980 |
1,1004 |
-1,7987 |
11 |
0,6994 |
1,1007 |
-1,7987 |
12 |
0,6993 |
1,1001 |
-1,7996 |
13 |
0,6998 |
1,1002 |
-1,7996 |
Из таблицы видно, что с точностью до 3 знаков решения равны.